微積分（Calculus）

極限（Limit）

描述 $x$ 趨近某值時，$f(x)$ 的行為：

$$\lim_{x \to a} f(x)$$

導數（Derivative）

變化率的極限：

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

微積分

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微分（Differentiation）

定義： 微分是研究函數變化率的工具，描述某點的瞬時變化。

基本公式：

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

應用：

• 求切線斜率、速度、加速度
• 判斷函數的極值（最大/最小值）
• 分析函數的增減性與凹凸性

常見觀念：

• 一階導數為零不一定是極值，需看二階導數符號
• 「極限」描述趨近但不一定等於

例： 若 $f(x) = x^2$，則 $f'(x) = 2x$

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積分（Integration）

定義： 積分是微分的反運算，代表「總和」或「面積」。

基本公式：

• 不定積分： $$\int f(x)dx = F(x) + C$$
• 定積分： $$\int_a^b f(x)dx$$ 表示 $x$ 從 $a$ 到 $b$ 的面積

應用：

• 計算面積、體積、總和
• 求原函數

常見觀念：

• 積分常數 $C$，因為常數項微分後會消失
• 微分是變化率，積分是所有變化的累積

例： 若 $f(x) = 2x$，則 $\int 2x dx = x^2 + C$

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